Vlnr: Perz-Gracia, Wolf en Cubitt

Een wiskundig probleem dat aan de basis ligt van veel fundamentele vragen in de deeltjes- en kwantumfysica is onoplosbaar. Dat schijnen onderzoekers van de TU München, het University College in Londen en de Complutense-universiteit in Madrid te hebben bewezen. Het zou het eerste belangrijke vraagstuk in de natuurkunde zijn, dat te kampen heeft met zo’n ernstige beperking. Daardoor zou zelfs een volmaakte en volledige beschrijving van de microscopische eigenschappen van een materiaal niet kunnen voorspellen hoe dat materiaal zich in de macrowereld zal gedragen.

Halfgeleiders hebben in ‘gat’ in hun spectrum (ook wel kloof genoemd), de energie die nodig is om een elektron van het atoom in een aangeslagen toestand te brengen. Daar zijn halfgeleiders overigens verre van uniek in. Als dat gat kleiner wordt – en dus de energie die nodig is – dan kunnen materialen opeens een volledig ander gedrag vertonen. Een ‘kwellend’ voorbeeld daarvan is supergeleiding bij, nog steeds, lage temperaturen.
Supergeleiding is een prachtige eigenschap en dus wordt er hard gezocht naar materialen die die weerstandsloosheid bij hogere temperaturen vertonen. Om daarvoor kandidaten te vinden werken onderzoekers met wiskundige modellen: uitgaand van de microscopische eigenschappen van een materiaal worden de macroscopische eigenschappen, het materiaalgedrag, berekend.
De onderzoekers ontdekten dat die aanpak op fundamentele grenzen stuit. Ze bewezen dat ook bij een volledige microscopische beschrijving van een materiaal er niet valt te voorspellen of dat materiaal een spectraal gat heeft of niet. “Alan Turing is beroemd om zijn rol bij het kraken van de Enigmacode, maar onder wiskundigen en informatici is hij nog veel bekender om zijn bewijs dat bepaalde wiskundige vraagstukken niet oplosbaar zijn; ze zijn waar noch onwaar, maar buiten het bereik van de wiskunde”, zegt informaticus Toby Cubitt van UCL. “We hebben laten zien dat die spectrale gaten een van die onoplosbare problemen is. Dat betekent dat er geen algemene methode is om vast te stellen of een in kwantumtermen beschreven materiaal een spectraal gat heeft of niet. Dat begrenst de mogelijkheden het gedrag van kwantummaterialen te kunnen voorspellen en mogelijk zelfs om fundamentele uitspraken te doen in de deeltjesfysica.”
Het bekendste probleem met betrekking tot de spectrale gaten is de vraag of het Standaardmodel van de deeltjesfysica zo’n gat voorspelt. Het zogeheten Yang-Mills-massaga-vermoeden geldt als een van de wat genoemd wordt milleniumproblemen. Proeven met deeltjes bij CERN en numerieke berekeningen op supercomputers doen vermoeden dat er ook hier een spectraal gat is. Degene die dat bewijst kan van het Clay-instituut in de VS 1 miljoen dollar tegemoet zien. Cubitt: “In bepaalde gevallen kan een deelprobleem op te lossen zijn, maar het algemene probleem is onoplosbaar. De prijs zal niemand winnen. Ons onderzoek wijst zelfs in de richting dat enkele van de grote open problemen van de theoretische natuurkunde bewijsbaar onoplosbaar zouden kunnen zijn.”
“Sinds het werk van Turing en Gödel in de jaren 30 was bekend dat er principieel onoplosbare problemen zijn”, zegt Michael Wolf van de TU München. “Tot nu toe kwamen die problemen alleen nog maar voor in zeer abstracte hoeken van de theoretische informatica en van de wiskundige logica. Niemand had zoiets in het hart van de natuurkunde verwacht. Dat is dus niet zo. Filosofisch bekeken is het ook een aanval op de reductionistische benadering. Het onoverkomelijke probleem zit hem juist in de herleiding van de macroscopische eigenschappen op basis van de microscopische beschrijving.”

Volgens onderzoeker David Pérez-García van de Complutense-universiteit heeft dat alles ook een goede kant. „Dat het probleem niet op te lossen is komt doordat modellen op dit niveau een uitzonderlijk vreemd gedrag vertonen, dat onmogelijk is te analyseren. Dat bizarre gedrag toont ook zeer eigenaardige, nieuwe natuurkunde, die niemand nog heeft voorzien. De eigenschappen van een stuk materiaal, hoe groot ook, zouden wel eens drastisch kunnen veranderen als je daar zelfs maar een enkel deeltje aan toevoegt. Nieuwe natuurkunde heeft vaak tot nieuwe technologie geleid.”
De onderzoekers proberen nu hun inzichten uit de abstractie van de wiskunde toe te passen op de echte wereld van de kwantummaterialen die ook echt gemaakt kunnen worden.

Bron: Eurekalert